BCS-BEC Crossover 的平均场描述

                     

贡献者: addis

   仍然沿用 BCS 的 Hamiltonian,在动量空间里面,

\begin{equation} H-\mu N = \sum_{{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },\sigma}(\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\mu)a ^\dagger _{{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },\sigma}a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} , \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} }+\frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} , \boldsymbol{\mathbf{k}} '}U_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} , \boldsymbol{\mathbf{k}} '}a ^\dagger _{ \boldsymbol{\mathbf{k}} \uparrow}a ^\dagger _{- \boldsymbol{\mathbf{k}} \downarrow}a_{- \boldsymbol{\mathbf{k}} \downarrow}a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} \uparrow}~. \end{equation}

   假设不是一个微扰的情况下,也可以用 $|\Psi\rangle = \prod_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }(u_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }+v_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }a ^\dagger _{ \boldsymbol{\mathbf{k}} \uparrow}a ^\dagger _{- \boldsymbol{\mathbf{k}} \downarrow})|0\rangle$ 来描述基态。仍然定义平均场参数 $\Delta = \langle a_{- \boldsymbol{\mathbf{k}} \downarrow},a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} \uparrow}\rangle$。不同的是,研究冷原子问题的时候,并不是只有在费米面附近才有 $U$,而是一个队任意动量都可以的情况。重复同样的 Bogoliubov 变换,我们能够解出来 $u_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^2, v_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^2 = 1/2(1\pm\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }/E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })$,其中元激发的能级关系 $E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }=\sqrt{(\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\mu)^2+|\Delta|^2}$。利用自洽方程,我们得到

\begin{equation} -\frac{1}{U} = \frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\frac{1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}~, \end{equation}
而我们知道,式 40 给出了
\begin{equation} \frac{ma_s}{4\pi\hbar^2} = \frac{1}{g} + \frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\frac{1}{\hbar^2{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^2/m} = \frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\left(\frac{1}{2\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }} - \frac{1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}\right)~. \end{equation}
定义无量纲参数来简化问题:
\begin{equation} x^2 = \frac{\hbar^2{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^2}{2m}\frac{1}{\Delta},\quad x_0 = \frac{\mu}{\Delta},\quad \epsilon_x = x^2-x_0 = \frac{\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\mu}{\Delta},\quad E_x = \sqrt{1+\epsilon_x^2} = \frac{E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{\Delta}~ \end{equation}
把求和化为积分,也就是 $\frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\to\int_0^\infty \text{d}^3{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }/(2\pi)^3$,利用求对称性,我们很容易转写一些式子:
\begin{equation} \begin{split} -\frac{m\Delta}{4\pi\hbar^2 a_s} &=\frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\left(\frac{\Delta}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }} - \frac{\Delta}{2\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}\right)~,\\ -\frac{m\Delta}{4\pi\hbar^2 a_s} &=\int_0^\infty\frac{\text{d}^3{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{(2\pi)^3}\left(\frac{1}{2E_x} - \frac{1}{2x^2}\right)~,\\ &=\int_0^\infty\frac{\text{d}k\cdot 4\pi k^2}{(2\pi)^3}\left(\frac{1}{2E_x} - \frac{1}{2x^2}\right)~,\\ -\frac{1}{a_s} &= \frac{2}{\pi\Delta}\frac{\hbar^2}{m}\int_0^\infty\text{d}k\cdot k^2\left(\frac{1}{2E_x} - \frac{1}{2x^2}\right)~,\\ k^2 &= \frac{mx^2}{\hbar^2}~,\\ -\frac{1}{a_s} &= \frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{2m\Delta}{\hbar^2}}\int_0^\infty \text{d}x\cdot x^2\left(\frac{1}{E_x}-\frac{1}{x^2}\right)~. \end{split} \end{equation}
可以看出来,右边的积分纯粹只是 $x_0$ 的函数,可以定义
\begin{equation} I_1(x_0) = \int_0^\infty \text{d}x\cdot x^2\left(\frac{1}{E_x}-\frac{1}{x^2}\right)~. \end{equation}
而另一方面,我们可以根据热力学定律知道平均粒子数 $N=-\partial\Omega/\partial\mu$ 得到
\begin{equation} N = \sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\left(1-\frac{\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\mu}{E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}\right)~. \end{equation}
而这个 $N$ 是要满足我们的要求的,也就是说 $n=N/V=k_F^3/(3\pi^2)$。我们当然也可以用类似的无量纲参数来处理:
\begin{equation} \begin{split} n &= \frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\left(1-\frac{\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\mu}{E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}\right)\\ &=\frac{1}{V}\sum_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }\left(1-\frac{\epsilon_x{\Delta}}{E_x{\Delta}}\right)\\ &=\int_0^\infty\frac{\text{d}k \cdot 4\pi k^2}{(2\pi)^3}\left(1-\frac{\epsilon_x}{E_x}\right)\\ &=\frac{1}{2\pi^2}\frac{2m\Delta}{\hbar^2}\sqrt{\frac{2m\Delta}{\hbar^2}}\int_0^\infty\text{d}x\cdot x^2\left(1-\frac{\epsilon_x}{E_x}\right)\\ &=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m\Delta}{\hbar^2}\right)^{3/2}I_2(x_0)~, \end{split} \end{equation}
其中
\begin{equation} I_2(x_0)=\int_0^\infty \text{d}x\cdot x^2\left(1-\frac{\epsilon_x}{E_x}\right)~. \end{equation}
于是我们得到了两个方程(代替原本的自洽方程来给我们关于系统的信息)
\begin{equation} \begin{cases} \dfrac{\Delta}{E_F} = \left(\dfrac{2}{3I_2(x_0)}\right)^{2/3}\\ \ \\ \dfrac{1}{k_Fa_s} = -\dfrac{2}{\pi}\left(\dfrac{2}{3I_2(x_0)}\right)^{1/3}I_1(x_0) \end{cases} ~. \end{equation}

图
图 1:左:$\Delta/E_F$ vs $k_F\xi_{\text{pair}}$,右:$\mu/E_F(\mu>0), \mu/(\epsilon_0/2)(\mu<0)$,区分两种情况是因为在 Bose 情况下没有费米能的定义,$\epsilon_0\equiv1/(ma_s^2)$

   但是,对于 $I_1, I_2$ 的渐进行为并不好分析,我们定义更多的积分

\begin{equation} \begin{aligned} I_3(x_0) &=\int_0^\infty\text{d}x\frac{x^4\epsilon_x}{E_x^6}~,\\ I_4(x_0) &=\int_0^\infty\text{d}x\frac{x^2}{E_x^2}~,\\ I_5(x_0) &=\int_0^\infty\text{d}x\frac{x^2}{E_x^3}~,\\ I_6(x_0) &=\int_0^\infty\text{d}x\frac{x^2\epsilon_x}{E_x^3}~. \end{aligned} \end{equation}

   可以知道,$I_1=(2x_0I_6-I_5),I_2 = \frac{2}{3}(x_0I_5+I_6)$。而 $I_3,I_4$ 是很好计算的。如果定义

\begin{equation} x_1^2=\frac{x_0+\sqrt{1+x_0^2}}{2}~, \end{equation}
就可以算出
\begin{equation} \begin{aligned} I_3&=\frac{\pi}{16}\frac{x_1(1+x_1^4)}{(1+x_0^2)^{1/2}}~,\\ I_4&=\frac{\pi}{2}x_1~. \end{aligned} \end{equation}

   平均场下可以计算费米子对的特征距离

\begin{equation} \xi_{\text{pair}}^2 = \frac{1}{m^2}\frac{\int_0^\infty\text{d}k(k^4(\epsilon_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }-\mu)^2/E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^6)}{\int_0^\infty\text{d}k(k^2/E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^2)} = \frac{2}{m\Delta}\frac{I_3}{I_4}~, \end{equation}
还有一些其他的参数信息
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\Delta}{E_F} &= \left(\frac{1}{x_0I_5+I_6}\right)^{2/3}~,\\ \frac{\mu}{E_F} &= x_0\frac{\Delta}{E_F}~,\\ \frac{1}{k_Fa_s} &= -\frac{4}{\pi}\frac{x_0I_6-I_5}{(x_0I_5+I_6)^{1/3}}~,\\ k_F\xi_{\text{pair}} &= \sqrt{\frac{1+x_1^4}{2}}\frac{(x_0I_5+I_6)^{1/3}}{(1+x_0^2)^{1/4}}~. \end{aligned} \end{equation}

   现在仔细分析一下渐进行为:

   可以用 $k_f\xi_{\text{pair}}$ 作为参数反解很多信息,如图 1


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