自然对数底(简明微积分)

                     

贡献者: addis; Giacomo; 零穹

预备知识 函数的极限,对数函数

   微积分中有一个重要的极限,叫做自然对数底,或者自然常数,记为1 $ \mathrm{e} $,它是一个无理数。它是一个无限不循环小数

\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2.7182818284590452\dots~ \end{equation}

   $ \mathrm{e} $ 也可以用无穷级数定义为

\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} +\dots~, \end{equation}
我们把以 $ \mathrm{e} $ 为底的对数函数 $\log_e x$ 叫做自然对数函数,记为 $ \ln\left(x\right) $ 或者直接用 $ \log\left(x\right) $。以后会证明以上两种定义是等效的。
未完成:链接

   令 $k$ 为任意自然数,可以把式 1 拓展得

\begin{equation} \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{\frac{n}{k}} = \mathrm{e} \qquad \Longrightarrow\qquad \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n = \mathrm{e} ^k~. \end{equation}
当 $k = -1$ 时得
\begin{equation} \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{ \mathrm{e} } = 0.36787944117144232\dots~ \end{equation}

1. 数值验证

   等价的,我们可以取 $n = \frac{1}{x}$,得到

\begin{equation} \lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e} ~. \end{equation}
这么做的好处是考虑 $0$ 点2而不是 $+\infty$ 处的定义,而且可以定义在整个实数轴上($x \neq -1$),方便作图;坏处是用到了 “开 $x$ 次方” 这种只能使用计算机计算的复杂运算。

   这里可以用数值的方法验证式 5 ,首先我们可以画出 $(1+x)^{1/x}$ 在原点附近的函数图,注意当 $x = -1$ 时,该函数无定义,但这并不妨碍极限的存在。可以看到,无论 $x$ 从左边还是右边趋近于原点(即左极限和右极限),结果都相等。

图
图 1:$(1+x)^{1/x}$ 的函数图

   表 1 用数值计算验证式 1 的右极限。

表1:极限 $ \mathrm{e} $ 数值验证(保留 6 位有效数字)
$x$ $10^{-1}$ $10^{-2}$ $10^{-3}$ $10^{-4}$ $10^{-5}$ $10^{-6}$
$(1 + x)^{1/x}$ $2.59374$ $2.70481$ $2.71692$ $2.71815$ $2.71827$ $2.71828$

   为什么说自然对数底是 “自然” 的呢?我们来看一个例子:

例 1 银行复利

   如果一笔数量为 $x$ 的钱存入某银行后,银行的年利率是 $\lambda$,那么一年后取出来连本带利共得 $(1+\lambda)x$。假设银行规定,在 $t$ 年时($t$ 取任意正实数)取出来,则利率按照 $\lambda t$ 来计算。例如半年取出共得 $(1+\lambda/2)x$,若取出立刻存入,再过半年连本带利为

\begin{equation} (1+\lambda/2)^2 x = (1 + \lambda + \lambda^2/4)x > (1 + \lambda) x~. \end{equation}
比直接存一年要多。可以证明,存取越频繁,一年的总利息就越多,简单来说这是因为充分地进行了 “利滚利”,也就是复利。

   如果不停地存取,且每次存取间隔时间取极限 $\Delta t \to 0$,那么 $t$ 年后连本带利的极限是多少呢($t$ 取 $\Delta t$ 的整数倍)?首先 $t$ 年后存取的次数为 $t/\Delta t$,利用式 3

\begin{equation} x_t = \lim_{\Delta t\to 0}(1 + \lambda \Delta t)^{t/\Delta t} x = \left[\lim_{\Delta t\to 0}(1 + \lambda \Delta t)^{1/(\lambda \Delta t)} \right] ^{\lambda t} x = \mathrm{e} ^{\lambda t} x~, \end{equation}
这样自然对数底就 “自然” 地出现了。

   现实中,活期利息几乎都是按照 $ \mathrm{e} ^{\lambda t}$ 来计算的,这就可以避免不必要的存取。注意这时的实际年利率($t = 1$)就是 $ \mathrm{e} ^\lambda - 1$ 而不是 $\lambda$。在泰勒展开中,有

\begin{equation} \mathrm{e} ^\lambda - 1 = \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \dots~ \end{equation}
且当 $\lambda$ 很小时,$ \mathrm{e} ^\lambda - 1 \approx \lambda$。

   另一个彩票的例子见例 1


1. ^ 为了与其他变量区分,小时百科使用正体字母表示自然对数底。
2. ^ 注意这里没有指定 $x\to 0$ 的方向,实际上无论 $x$ 正数或负数该式都成立。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利