功、功率

                     

贡献者: addis

预备知识 矢量的内积,定积分
图
图 1:在一小段位移中,把变力看做恒力

   如图 1 ,当质点沿着曲线运动时,有一个力作用在其上,当质点的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 时,力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。下面求质点从点 $A$ 运动到点 $B$ 的过程中,力对质点的做功。

   把从 $A$ 到 $B$ 这段曲线看成由许多小位移 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \dots \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _n$ 组成,对其中第 $i$ 个进行分析。由于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 很短,质 点经过 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的过程中位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 几乎不变,记为常矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$。在这小段中, $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 也可以近似看成是恒力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$。

   现在把 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$ 分解成垂直于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 和平行于 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的两个正交分量,其中垂直分量不做功,平行分量的大小为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \right\rvert \cos \theta_i$,该分量做功大小为

\begin{equation} \Delta W_i = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \right\rvert \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right\rvert \cos \theta_i~. \end{equation}
上式可以表示成矢量内积的形式
\begin{equation} \Delta W_i = \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i~. \end{equation}
把上式对所有的 $i$ 求和,就得到了做功的近似表达式
\begin{equation} W_{ab} = \sum_{i = 1}^n \Delta W_i \approx \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i ~. \end{equation}
事实上,当曲线分割的越细,即 $n$ 越大时,上式就越精确地成立。类比定积分中的介绍,令 $n \to \infty $,把求和符号换成积分符号,把表示增量的 $\Delta $ 换成微分符号 $ \,\mathrm{d}{} $,则不等号可以变为等号。
\begin{equation} W_{ab} = \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = \int_{C_{ab}} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~. \end{equation}
不同于一元函数的积分,这一类特殊的积分叫做线积分,详见 “线积分”。

1. 力的功率

   功率(瞬时)的定义为做功的变化率,即

\begin{equation} P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} ~. \end{equation}
根据式 2 ,力的功率为
\begin{equation} P = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}{\Delta t_i} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ~. \end{equation}


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利