贡献者： 待更新
在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数 $f(x)$，就得到了二阶常系数非齐次微分方程
\begin{equation}
y'' + by' + cy = f(x)~.
\end{equation}
这就是
二阶常系数非齐次微分方程。其解为
\begin{equation}
y(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1\int \frac{y_2 f}{W} \,\mathrm{d}{x} + y_2\int \frac{y_1 f}{W} \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
其中 $W$ 可以写成二阶行列式
\begin{equation}
W =
\begin{vmatrix}
y_1 & y_2\\
y'_1 & y'_2
\end{vmatrix} = y_1 y'_2 - y'_1 y_2~,
\end{equation}
其中 $y_1, y_2, W, f$ 都是 $x$ 的函数，后面的括号和自变量被省略。$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是对应齐次方程
\begin{equation}
y'' + by' + cy = 0~
\end{equation}
的两个线性无关的解。
应用
简谐振子受迫运动，轨道方程 比耐公式。
1. 推导
下面介绍的方法叫常数变易法，其主要思想可参考一阶线性非齐次微分方程的通解
设通解的形式为
\begin{equation}
y = v_1 y_1 + v_2 y_2~,
\end{equation}
其中，$v_i$ 也是关于 $x$ 的函数。对该式两边求导，得
\begin{equation}
y' = v'_1 y_1 + v'_2 y_2 + v_1 y'_1 + v_2 y'_2~.
\end{equation}
为了接下来计算方便，我们规定 $v_1$，$v_2$ 满足关系
1
\begin{equation}
v'_1 y_1 + v'_2 y_2 = 0~.
\end{equation}
把
式 7 代入
式 6 ，得到
\begin{equation}
y' = v_1 y'_1 + v_2 y'_2~.
\end{equation}
继续对求导，得到
\begin{equation}
y'' = v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 + v_1 y''_1 + v_2 y''_2~.
\end{equation}
把
式 5 式 8 式 9 代回原方程
式 1 得
\begin{equation}
(v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 + v_1 y''_1 + v_2 y''_2) + b (v_1 y'_1 + v_2 y'_2) + c(v_1 y_1 + v_2 y_2) = f~,
\end{equation}
化简，得
\begin{equation}
(v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2) + v_1 ( y''_1 + b y'_1 + c y_1) + v_2 ( y''_2 + b y'_2 + c y_2) = f ~.\end{equation}
由于 $y_1$ 和 $y_2$ 都是
式 4 的解，式（9）化为
\begin{equation} v'_1 y'_1 + v'_2 y'_2 = f~.
\end{equation}
总结一下，刚刚的推导说明，和在（5）的假设条件下，只要满足（10）即可满足（1）式。联立（5）和（10）式，得到关于 $v_1'$ 和 $v_2'$ 的方程组
\begin{equation}
\begin{cases}
y_1 v'_1 + y_2 v'_2 = 0\\
y'_1 v'_1 + y'_2 v'_2 = f~,
\end{cases}
\end{equation}
解得
\begin{equation}
\begin{cases}
v_1' = -y_2f/W\\
v_2' = y_1 f/W~,
\end{cases}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
W = y_1 y'_2 - y_2 y'_1 =
\begin{vmatrix}
y_1 & y_2\\
y'_1 & y'_2
\end{vmatrix}~.
\end{equation}
对（13）的两条式子积分，即可得到
\begin{equation}
v_1 = - \int \frac{y_2 f}{W} \,\mathrm{d}{x} + C_1~,
\end{equation}
\begin{equation}
v_2 = \int \frac{y_1 f}{W} \,\mathrm{d}{x} + C_2~.
\end{equation}
代入
式 5 ，得方程
式 1 的解为
\begin{equation}
y(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2 - y_1 \int \frac{y_2 f}{W} \,\mathrm{d}{x} + y_2 \int \frac{y_1 f}{W} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
由于上式满足线性微分方程解的结构，所这已经是通解了。但是必须注意，根据常数变易法，我们只能在没有零点的区间内找到方程
式 1 的通解。
1. ^ 这么规定会不会丢失一部分解呢？或许会，但是由于我们已经有了式 1 对应的齐次解 $y_1$ 和 $y_2$，根据线性微分方程解的结构（见同济大学的《高等数学》），只需要找到式 1 的任意一个解，就可以找到它的通解。
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