轨道角动量升降算符归一化

                     

贡献者: addis

预备知识 轨道角动量

   首先要提醒,一般来说,算符满足的一个条件是 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} ^*g}|{f}\rangle $。但是对于厄米算符,$ \hat{Q} ^* = \hat{Q} $,所以有 $ \langle{g}|{ \hat{Q} f}\rangle = \langle{ \hat{Q} g}|{f}\rangle $。

   对于角动量升算符

\begin{equation} L_+ L_- = (L_x + \mathrm{i} L_y)(L_x - \mathrm{i} L_y) = L_x^2 + L_y^2 - \mathrm{i} \left[L_x, L_y\right] = L^2 - L_z^2 + \hbar L_z~. \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} L_+ L_- \psi_{l,m} &= \hbar^2 l(l + 1) \psi_{l,m} - \hbar^2 m^2 \psi_{l,m} + m\hbar^2 \psi_{l,m}\\ &= \hbar^2 [l(l + 1) - m(m - 1)] \psi_{l,m}~, \end{aligned} \end{equation}
所以
\begin{equation} \langle{L_- \psi_{l,m}}|{L_- \psi_{l,m}}\rangle = \langle{\psi_{l,m}}|{L_+L_-\psi_{l,m}}\rangle = \hbar^2 [l(l + 1) - m(m - 1)]~, \end{equation}
所以
\begin{equation} L_- \psi_{l,m} = \hbar \sqrt{l(l + 1) - m(m - 1)} \psi_{l, m-1}~, \end{equation}
同理可证
\begin{equation} L_+ \psi_{l,m} = \hbar\sqrt{l(l + 1) - m(m + 1)} \psi_{l, m+1}~. \end{equation}
严格来说,归一化系数后面加上任意相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$ 后仍能满足式 3 ,但一般省略。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利