电磁场中的薛定谔方程及规范变换

                     

贡献者: addis; _Eden_

预备知识 1 点电荷的拉格朗日和哈密顿量,量子化,原子单位制,电磁场的规范变换

  1本文如无特殊说明使用原子单位制。电动力学中,电磁场中电荷量为 $q$ 的粒子的哈密顿量为(式 5

\begin{equation} H = \frac{1}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 + q\varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}
其中 $\varphi$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 分别是电磁场的标势和矢势,都是位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和时间的函数。$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的广义动量
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = m \boldsymbol{\mathbf{v}} + q \boldsymbol{\mathbf{A}} ~. \end{equation}
其中 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是系统的所有其他势能。在原子分子物理中,式 1 可以计算氢原子在外部电磁场中的变化,此时原子核对电子的作用通常被包含在 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 中,而 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \varphi$ 仅表示外部电磁场的作用

   现在要把经典的 $H$ 做量子化,也就是将 ${ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = - \mathrm{i} \boldsymbol\nabla $ 代入得量子哈密顿算符为

\begin{equation} \begin{aligned} H &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m} - \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} + \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q \varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\\ &= -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + \mathrm{i} \frac{q}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} + \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + \frac{q^2}{2m} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^2 + q\varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~, \end{aligned} \end{equation}
注意算符 $ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是指先把波函数乘以矢势再取散度而不是直接对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 取散度(想想量子力学中算符相乘的定义)。

   另外要注意 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} $ 代表的是式 2 广义动量而不是 $m \boldsymbol{\mathbf{v}} $。所以一般规范下的平面波 $ \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) $ 的能量是

\begin{equation} E = \frac{( \boldsymbol{\mathbf{k}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}{2m}~. \end{equation}
在长度规范下,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \equiv \boldsymbol{\mathbf{0}} $,这时才有常见的 $E = \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2/(2m)$。

   如果对电磁场进行规范变换(式 3

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ' + \boldsymbol\nabla \chi~, \qquad \varphi = \varphi' - \frac{\partial \chi}{\partial t} ~. \end{equation}
其中 $\chi$ 是式 3 中的任意标量函数 $\lambda$。规范变换后的哈密顿算符哈密顿量为
\begin{equation} H' = \frac{1}{2m} ( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} ')^2 + q\varphi' + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}
考虑变换前后的含时薛定谔方程,
\begin{equation} H\Psi = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi~, \end{equation}
\begin{equation} H'\Psi' = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi'~. \end{equation}

   那么 $\Psi$ 和 $\Psi'$ 之间要如何做规范变换才能使两个方程都成立呢?可以证明该变换为

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \exp\left( \mathrm{i} \frac{q}{\hbar}\chi\right) \Psi'( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)~, \end{equation}
证明见下文。所以对于任意规范,式 3 式 6 都保持相同的形式(gauge invariant)。

   在量子力学中,常见的规范如库仑规范,以及偶极子近似下的长度规范和速度规范

1. 高斯单位制

预备知识 2 高斯单位制

   注意高斯单位制中 $\hbar$ 不是 1,不可省略。电磁场中单个粒子的哈密顿量变为

\begin{equation} H = \frac{\hbar^2( \boldsymbol{\mathbf{p}} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} /c)^2}{2m} + q\varphi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~. \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 是广义动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} =m \boldsymbol{\mathbf{v}} +q \boldsymbol{\mathbf{A}} /c$。 如果对电磁场进行规范变换
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} '+ \boldsymbol\nabla \chi,\qquad \varphi =\varphi' - \frac{\partial \chi}{\partial t} ~. \end{equation}
波函数也要乘一个相位因子:
\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)= \exp\left( \mathrm{i} \frac{q}{c\hbar} \chi\right) \Psi'( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)~. \end{equation}

2. 多粒子薛定谔方程

   电磁场中多个带电粒子的含时薛定谔方程

\begin{equation} H = \sum_i \frac{(- \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} _i - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}{2m_i} + q_i\varphi + \sum_i V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) + \sum_{i,j}\frac{q_iq_j}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _j \right\rvert }~. \end{equation}
不难证明
\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \dots,t)= \prod_i \exp\left[ \mathrm{i} q\chi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i, t)\right] \Psi'( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \dots,t)~. \end{equation}

3. 证明

   现在证明若式 7 成立,且 $H', \Psi'$ 由式 6 式 9 定义,那么式 8 也成立。

   这个证明并没有想象中那么复杂。首先证明

\begin{equation} (- \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )\Psi = \exp\left( \mathrm{i} q\chi\right) (- \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} ')\Psi'~. \end{equation}
同理
\begin{equation} \frac{(- \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}{2m}\Psi = \exp\left( \mathrm{i} q\chi\right) \frac{(- \mathrm{i} \boldsymbol{\nabla} - q \boldsymbol{\mathbf{A}} ')^2}{2m}\Psi'~. \end{equation}
然后证明
\begin{equation} \left(q\varphi - \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) \Psi= \exp\left( \mathrm{i} q\chi\right) \left(q\varphi' - \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) \Psi'~ \end{equation}
式 16 式 17 相加可证式 8

   该推导容易拓展到多粒子的情况。另外,无论使用库仑、长度、速度中哪种常见的规范,把原子核与电子间的库仑作用包含在 $\varphi$ 中还是分离到 $V$ 中都不影响上述推导。我们一般选择后者。


1. ^ 本文参考 [48]


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利