受阻简谐振子
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1. 结论
两个复数根（$\alpha ^2 - 4km < 0$，最常讨论和应用的情况）
\begin{equation}
y = C_1 \mathrm{e} ^{rt} \cos\left(\omega t + C_2\right) ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
r = - \frac{\alpha }{2m} ~,\qquad \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha ^2}{4 m^2}}~.
\end{equation}
其中 $\alpha$ 是阻力系数，$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 是振子的固有振动频率（无阻力 $\alpha = 0$ 时的振动频率）。$r$ 和 $\omega$ 还满足
\begin{equation}
r^2 + \omega ^2 = \omega_0^2~.
\end{equation}
2. 推导
在弹簧振子的振动方程基础上，若振子还受到一个与速度成正比的阻力 $f = - \alpha v$，则振动方程如下（$\alpha \ne 0$）:
\begin{equation}
my'' = - \alpha y' - ky~.
\end{equation}
之所以设为正比，是因为所得方程是线性方程，便于求解。根据 “ 二阶常系数齐次微分方程
”，解特征方程 $m r^2 + \alpha r + k = 0$，可得通解分为三种情况。
- 有两个不同的实根 $r_1, r_2$（$\alpha ^2 - 4km > 0$），方程的通解为
\begin{equation}
y = C_1 \mathrm{e} ^{r_1 t} + C_2 \mathrm{e} ^{r_2 t}~.
\end{equation}
- 有一个重根 $r$（$\alpha ^2 - 4km = 0$），方程的通解为
\begin{equation}
y = C_1 \mathrm{e} ^{rt} + C_2 t \mathrm{e} ^{rt}~,
\end{equation}
- 两个复数根 $r_1,r_2$（$\alpha ^2 - 4km < 0$，最常讨论和应用的情况）
\begin{equation}
y = C_1 \mathrm{e} ^{rt} \cos\left(\omega t + C_2\right) ~,
\end{equation}
\begin{equation}
r = - \frac{\alpha }{2m}~,
\qquad
\omega = \frac{1}{2m}\sqrt {4mk - \alpha ^2} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha ^2}{4 m^2}}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}~, \qquad \gamma = \frac{\alpha }{2\sqrt{mk}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
r = - \omega_0 \gamma~,\qquad \omega = \omega_0 \sqrt{1 - \gamma ^2}~.
\end{equation}
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